Как же найти обратную матрицу? Да вот так!

Обратную матрицу можно найти только у квадратной матрицы, т.е. у матрицы у которой количество строк совпадает с количеством столбцов. Обратная матрица существует, если определитель первоначальной матрицы не равен нулю.

Найдём обратную матрицу у матрицы:

Обратная матрица находится по формуле:

Где наша обратная матрица, detA - определитель матрицы, - транспонированная матрица алгебраических дополнений. С ней мы разберёмся немого позже.

Первое, что нужно сделать - найти определитель матрицы.

Наш определитель не равен нулю, значит обратная матрица существует.

Теперь найдём матрицу алгебраических дополнений - . Каждый элемент матрицы алгебраических дополнений находится по формуле - , m - номер строки, n - столбца, М - минор. Минор - это определитель подматрицы найденный путём вычёркивания строки/столбца.

Найдём миноры нашей матрицы:










Если возникли трудности с перменожением на еденицу в степени, то в конце можно просто поменять знаки у следующих элементов: + знак остаётся, - знак меняется.

Подставляем их в нашу матрицу и получаем матрицу алгебраических дополнений:

Трансформируем её в транспонированную матрицу алгебраических дополнений. Для этого переставим местами строки со столбцами:

Подставляем всё это в формулу и получаем нашу обратную матрицу:

Проверим правильность нашей матрицы. Для этого нам нужно умножить исходную матрицу с обратной. Если обратная матрица правильна, то должна получится единичная матрица. Делать какие-то действия с нашей обратной матрицей несколько неудобно, так как элементы в ней дроби. Поэтому возьмём матрицу еще не поделённую на наш определитель и умножим её. В конце просто поделим получившуюся матрицу на наш определитель.

Значит наша матрица правильна.

Наверх